免费的有限总体方差的模型无偏估计(二)

4．讨论
本文给出了总体方差的一个模型无偏估计，模拟结果显示，该估计较之通常的比率型方差估计量也具有较小的均方误差。我们也研究了通常的比率型估计量的线性函数之模型无偏性并获得了充要条件。我们提出的估计量 （见（2）式）其表达式看起来有些复杂，但利用计算机进行计算并不会引起麻烦，因此我们希望本文的结果能对实际的抽样调查工作者有所帮助。

由附录的（A.1）和（A.2）式知，通常的方差估计量  也不是模型无偏的，但在简单随机抽样下却是模型-设计无偏的。显然，我们的估计量  在任何抽样方案下都是模型-设计无偏的。

在实际的抽样调查中，常常会有缺失数据，因此考虑缺失数据情形下与本文相应的问题也是有趣的（缺失数据的处理方法可参见Rao (1996)， 金勇进(1996)），这有待于我们今后进一步的研究。

致谢：作者衷心感谢审稿专家的宝贵修改意见。

参考文献

 [1] Cochran, W.G. (1977). Sampling Techniques. 3rd ed., New York: John Wiley & Sons.
 [2] 冯士雍、施锡铨(1996): 抽样调查的理论、方法与实践，上海：上海科学技术出版社。
[3]  孙山泽(2004)：抽样调查，北京：北京大学出版社.
 [4]  Isaki, C.T. (1983). Variance estimation using auxiliary information.  Journal of the
 American Statistical Association 78: 117-123.
 [5] Prasad, B. and Singh, H.P. (1990). Some improved ratio-type estimators of finite population variance in sample surveys.  Communications in Statistics: Theory and Methods 19: 1127-1139.
 [6]  Cassel, C. M., , C. E. and Wretman, J. H. (1977).  Foundations of Inference in Survey Sampling. New York:  John Wiley & Sons.
 [7]  Durbin, J. (1959). A note on the application of Quenouille's method of bias reduction to the estimation of ratios. Biometrika 46: 477-480.
 [8] Wu, C. F. J. (1982). Estimation of variance of the ratio estimator. Biometrika 69:  183-189.
 [9] Rao, J.N.K. (1996).  On variance estimation with imputed survey data. Journal of the American Statistical Association 91: 499-506.
[10] 金勇进(1996): 非抽样误差分析，北京：中国统计出版社.

附录： 定理1的证明

首先我们有
 
 
 
 
 
                                                                        （A.1）
类似地可以证明
                                                          （A.2）

现记 .  则有 .  因而

 .                                                             （A.3）

这样，由 (2) 式和 (A.1)-(A.3) 式知

这说明估计量  确实是总体方差  的模型无偏估计。定理证毕。

 表1.  方差估计量  和  的比较

   ,   ,  
   0.46 &

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